[AI Day 05] 접선의 방정식과 미분의 활용
[AI 수학] Day 5 - 접선의 방정식과 미분의 활용
들어가며
미분을 배우면서 가장 많이 듣는 말 중 하나가 “접선의 기울기”이다.
처음에는 왜 접선을 구해야 하는지 잘 와닿지 않았지만, 오늘 공부하면서 미분의 가장 대표적인 활용이 바로 접선의 방정식을 구하는 것이라는 것을 알게 되었다.
접선이란?
접선(Tangent Line)은 곡선과 한 점에서 만나는 직선이다.
직선은 어디에서나 기울기가 같지만,
곡선은 위치마다 기울기가 계속 변한다.
그래서 곡선의 한 점에서의 기울기를 알고 싶을 때 사용하는 것이 바로 미분이다.
즉,
접선의 기울기 = 미분값
이다.
예제
함수가
1
f(x)=x²
라고 하자.
먼저 미분하면
1
f'(x)=2x
이다.
이제 x=1에서 접선을 구해보자.
먼저 점의 좌표를 구한다.
1
f(1)=1
따라서 접점은
1
(1,1)
이다.
기울기는
1
f'(1)=2
이다.
점-기울기 공식
직선은
- 한 점
- 기울기
만 알면 방정식을 만들 수 있다.
사용하는 공식은
1
y-y₁=m(x-x₁)
이다.
여기서
- (x₁,y₁)는 직선이 지나는 점
- m은 기울기이다.
위 값을 대입하면
1
y-1=2(x-1)
이고,
정리하면
1
y=2x-1
이 된다.
접점을 모를 때는?
이번에는 접점을 모른다고 가정해보자.
함수가
1
y=x²
일 때,
접점의 x좌표를
1
a
라고 둔다.
그러면
접점의 좌표는
1
(a,a²)
이다.
접선의 기울기
먼저 미분한다.
1
f'(x)=2x
접점이 x=a이므로
1
f'(a)=2a
이다.
즉,
접선의 기울기는
1
2a
이다.
접선의 방정식
점-기울기 공식을 그대로 사용하면 된다.
1
y-a²=2a(x-a)
이 식이 x² 위의 임의의 점에서의 접선의 방정식이다.
왜 x 대신 a를 사용할까?
처음에는 이 부분이 가장 헷갈렸다.
x를 사용하면 될 것 같지만 그렇지 않다.
이유는
- x는 직선 위를 움직이는 변수
- a는 접점의 위치를 나타내는 고정된 값
이기 때문이다.
예를 들어
1
(a,a²)
는 접점이고,
1
(x,y)
는 직선 위를 움직이는 임의의 점이다.
따라서 접점은 항상 a로 표현해야 한다.
접선 문제를 푸는 순서
- 함수를 미분한다.
- 접점을 (a,f(a))라고 둔다.
- 기울기는 f’(a)를 사용한다.
- 점-기울기 공식을 이용한다.
- 문제에서 주어진 조건을 대입하여 a를 구한다.
- a를 다시 접선의 방정식에 대입한다.
오늘 배운 내용 정리
- 미분값은 접선의 기울기이다.
- 직선은 점 하나와 기울기 하나만 알면 만들 수 있다.
- 접점을 모를 때는 x 대신 a를 사용한다.
- 접점은 (a,f(a))이다.
- 접선의 기울기는 f’(a)이다.
- 접선의 방정식은
1
y-f(a)=f'(a)(x-a)
을 사용하면 된다.
마무리
오늘 공부하면서 접선의 방정식은 새로운 공식을 외우는 것이 아니라,
이미 알고 있는 직선의 방정식과 미분을 합친 것이라는 점이 가장 인상 깊었다.
앞으로는 접선을 구하는 문제를 만나면
“먼저 미분해서 기울기를 구하고, 점-기울기 공식을 사용한다.”
라는 순서대로 접근하면 훨씬 쉽게 해결할 수 있을 것 같다.